線性是向量空間的骨架結構。一個 線性變換 不僅僅是一個函數；它是在向量空間之間的一種映射 $T$，尊重向量加法和純量乘法的基本運算規則。可以將其視為「結構藍圖」——如果你知道這個變換如何影響一組基本向量，那麼你就知道它如何影響這些向量所構成的整個世界。
線性的兩大支柱
若要使變換 $T$ 被視為線性，對於所有向量 $v, w$ 和所有純量 $c$，必須滿足以下兩個嚴格的代數條件：
- 可加性： $T(v + w) = T(v) + T(w)$。一個和的變換等於各項變換的和。
- 齊次性： $T(cv) = cT(v)$。輸入縮放多少倍，輸出也以完全相同的因子進行縮放。
疊加原理
結合這兩條規則，我們得到了線性代數中最強大的恆等式：
$$T(c_1v_1 + \dots + c_nv_n) = c_1T(v_1) + \dots + c_nT(v_n)$$
這表示線性變換 $T$ 作用在向量的線性組合上時，會對總和進行分配，並將純量提取出來。
零向量約束
判斷線性的關鍵「試紙」是 原點測試。若變換為線性，則必須將零向量映射至零向量：
$T(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$
若某映射移動了原點（例如 $T(v) = v + b$），則為一種 仿射 變換，而非線性變換。在平面幾何中，線性變換保持中心不動；它們從不會「滑動」空間。
辨識非線性
線性極其脆弱。若決定 $T$ 的規則包含以下任何一種情況，則它就不是 非線性 線性：
- 平方或更高次冪（例如 $v_1^2$）
- 分量的乘積（例如 $v_1 v_2$）
- 絕對值或範數（例如 $||v||$）
- 常數偏移（例如 $v_1 + 1$）
🎯 核心原則：範例對比
考慮一個固定向量 $a = (1, 3, 4)$。 點積 $T(v) = a \cdot v$ 是線性的，因為它在加法上具有分配律。然而， 範數 $T(v) = ||v||$ 不是線性的；它不滿足三角不等式（$||v+w|| \leq ||v||+||w||$ 不成立為等式），且對負純量也不成立（$||-v|| = ||v|| \neq -||v||$）。